dimanche 17 janvier 2016

Berkeley, Les principes de la connaissance humaine, §121-122 - Corrigé d'explication de texte

Eléments de correction de l'explication du texte de Berkeley,
"Dès que les chiffres cherchés sont obtenus grâce à la constante observation de la même règle, ou analogie, il est facile de les lire en leur substituant des mots, et le nombre est ainsi parfaitement connu ; car on dit que le nombre de certains objets particuliers est connu quand on connaît le nom ou les chiffres (les chiffres en leur due disposition) qui se rapportent à ce nombre en vertu de l'analogie établie. En effet, connaissant ces signes, nous pouvons par les opérations de l'arithmétique connaître les signes de toute partie des sommes particulières qu'ils signifient, et faisant ainsi porter le calcul sur les signes (à cause de la connexion établie entre eux et les multitudes distinctes des choses dont l'une est prise pour une unité), nous avons la faculté d'additionner, diviser et comparer correctement les choses que nous voulons nombrer.

Nous considérons donc en arithmétique non les choses, mais les signes, les signes qui néanmoins ne sont pas des objets d'étude pour eux-mêmes, mais qui nous dirigent dans nos actes à l'égard des choses et dans la manière convenable de disposer d'elles. Or il arrive, conformément à ce que nous avons observé touchant les mots en général (Introduction, § 19), qu'ici aussi l'on croit que les noms numéraux ou les caractères signifient des idées abstraites, du moment qu'ils ne suggèrent plus à l'esprit des idées de choses particulières. Je n'entrerai pas maintenant dans une dissertation plus détaillée sur ce sujet, mais je remarquerai qu'il résulte évidemment de ce qui a été dit que tout ce qui passe pour vérités abstraites et théorèmes concernant les nombres ne porte en réalité sur nul objet distinct des choses particulières nombrables, si ce n'est toutefois sur des noms et des caractères. Et ceux-ci se sont présentés uniquement à l'origine en qualité de signes, et comme propres à représenter les choses particulières, quelles qu'elles fussent, que les hommes avaient besoin de compter. Il suit de là que de les étudier pour eux-mêmes serait tout juste aussi sage et bien entendu que si, négligeant l'emploi véritable, l'intention première et le service d'utilité du langage, on consacrait son temps à des critiques déplacées sur les mots, ou à des raisonnements et à des controverses purement verbales.





INTRODUCTION



Le texte de Berkeley porte sur le caractère référentiel des nombres (thème). Ce philosophe irlandais du XVIIIè siècle défend la thèse selon laquelle en arithmétique on considère non pas des choses mais des signes grâce auxquels on se dirige dans l'action. Les signes n'ont pas de sens en eux-mêmes mais ils sont l'index des idées auxquelles ils renvoient. Les idées abstraites en arithmétique ne sont donc que des noms, en aucun cas elles ne sont des choses réelles, particulières (thèse). Il s'agit donc pour Berkeley de déterminer si les idées abstraites en arithmétique existent ou bien si elles ne sont que des fictions (problème).

( Mouvement du texte ) Après avoir explicité l'origine de la croyance en l'existence des grandeurs mathématiques, Berkeley en donne la cause : c'est un abus de langage. Dans un troisième temps, l'auteur précise l'objet des mathématiques et dissipe une confusion entre une conception des mathématiques qui pense avoir à faire à des réalités objectives – les nombres – et une autre, qui rejette cette croyance, pour s'en tenir à la considération de mots, de signes que l'on peut interpréter rationnellement. Se fondant sur un nominalisme, l'auteur en tire la conséquence que l'origine des mathématiques se situe dans la numération de choses particulières et non dans l'application – abstraite – de règles arithmétiques.

(Enjeu) L'enjeu réside dans la prétention de cette conception empiriste et nominaliste à réduire l'arithmétique à l'appréhension abstraite de relations perceptibles entre les choses. Comment une approche finitiste des mathématiques peut-elle affronter le problème de l'infini mathématique, i.e. d'une idée abstraite qui ne dérive d'aucune sensation?



DÉVELOPPEMENT : ÉLÉMENTS D'EXPLICATION



Lire les signes mathématiques c'est les interpréter, or cette interprétation semble relever de la croyance : considérer qu'un nombre est une réalité objective, une chose qui peut être un objet pour la pensée, relève de la croyance. Il faut croire, sans savoir, sans réfléchir, qu'une idée abstraite existe de la même manière qu'une chose existe. Cette confusion est due à une analogie que l'on fait, sans réfléchir, spontanément, lorsqu'on énumère des choses réelles – des livres posés sur une étagère. Le nombre que l'on définit comme "une collection d'unité" (§ 120) est construit par analogie avec le langage : les signes linguistiques, les mots sont aux choses ce que les chiffres – signes mathématiques – sont aux réalités arithmétiques – idées abstraites. Or cette analogie revient à créer des fictions, des illusions de l'esprit qui a perdu les choses sensibles. Car notre faculté d'additionner est distincte de notre rapport sensible à la réalité : calculer et sentir sont deux actes distincts. Calculer une addition n'est rien de commun avec la perception d'un arc-en-ciel ou d'une odeur. Mais force est de constater que nous sommes capables de penser de manière abstraite. De là à considérer que ce que nous pensons existe réellement, il y a un pas que Berkeley refuse de faire.

Berkeley en tire la conséquence pour l'arithmétique en général que dans cette discipline ce ne sont pas les choses que nous considérons mais les signes. Le signe est un index, il renvoie à ce dont il est le signe, à ce qu'il désigne. Réfléchir sur le signe "1" est absurde car aucune réalité n'est contenue dans le signe "1", ni ne se cache derrière lui. Ce n'est qu'un mot creux – un flatus vocis. Cette croyance en la réalité objective de signes mathématiques est donc fondée sur un abus de langage. Pour autant les mathématiques ne se réduisent pas à une question de mots, mieux elles peuvent se passer des idées abstraites, fictions coupées de notre rapport sensible aux choses.

Il n'y a que des choses particulières nombrables. Si l'on considère des choses générales – le chiffre 1 – on se trompe sur ce que l'on considère. On prend une abstraction - qui n'est que fiction pratique pour la numération – pour une chose réelle : on chosifie ou réifie ( du latin res : la chose ) les chiffres, les signes mathématiques. Vouloir interpréter ou connaître des signes, vouloir constituer une théorie du nombre, voire une axiomatique comme celles que feront au XIXè Zermelo et Frankel, est absurde. Cela ne peut avoir de sens car l'objet de notre réflexion n'existe pas.

(Critique) Or, concevoir ainsi le nombre nous semble réducteur. Le nominalisme – qui refuse de reconnaître que derrière les mots il y a une idée, réelle, de la chose ; que le mot ne se réduit pas à une convention de langage – achoppe devant des idées abstraites bien utiles pourtant dans le calcul de l'aire d'un terrain qui revient à plusieurs légataires. La méthode d'exhaustion d'Archimède, qui préfigure le calcul intégral de Leibniz, conteste par son existence, quoique théorique, la thèse de Berkeley. Des idées même abstraites peuvent être utiles, servir à calculer, faire des opérations mathématiques de numération, sans correspondre toutefois à des choses réelles, sensibles, perceptibles par l'un de nos sens. Comprendre que l'on peut calculer l'aire d'un demi-cercle en additionnant, à l'infini, des sommes d'aires de rectangles inscrits dans le demi-cercle, n'a rien de sensible. L'empirisme ne peut donc rendre compte de l'idée d'infini – ou d'indéfini plus exactement – mathématique, i.e. d'une idée abstraite mais désignant une réalité qui n'est pas seulement mathématique : une réalité objective.



CONCLUSION



Berkeley réfute ici la réalité objective des nombres, dénonçant une croyance fondée sur un abus de langage. Suivant une démarche empiriste et nominaliste, il considère l'arithmétique, science du nombre, comme victime d'une illusion : croire que lorsque nous calculons avec des chiffres nous avons à faire à des réalités objectives, à des choses que l'on peut manipuler tout aussi réellement que l'on manipule des objets techniques – un livre que l'on aligne sur une étagère – est une erreur due au langage. L'arithmétique considère des objets qu'elle croit être réels par analogie avec le langage – lui aussi donne l'illusion que nous parlons des choses qui existent derrière les mots qui les désignent, alors que nous n'avons aucune intuition sensible de ce à quoi ils nous renvoient.

Or, qu'en est-il de l'idée d'infini mathématique, ou plus simplement du raisonnement par récurrence : ce raisonnement mathématique désigne-t-il une réalité ou une fiction? Reprenons la formulation qu'en donne Henri Poincaré dans la Science et l'hypothèse (chapitre 1, 1894) : « On établit d'abord un théorème pour n = 1 ; on montre ensuite que s'il est vrai de n – 1, il est vrai de n et on en conclut qu'il est vrai pour tous les nombres entiers. » Faut-il attribuer la vérité de ce raisonnement à une intuition de l'esprit qui le conçoit ou bien n'est-il qu'une forme abstraite dont il est vain de chercher une intuition? Le débat entre l'empirisme, dans sa version nominaliste et l'idéalisme, dans sa version cartésienne par exemple, anticipe celui qui aura lieu entre l'intuitionnisme d'un Poincaré et le formalisme d'un Boole ou d'un Hilbert. Il faudra alors déterminer s'il faut renoncer au concept traditionnel de la vérité comme adéquation entre l'esprit et la chose.



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