vendredi 3 juin 2016

Mesure et Musique : Des grecs à Euler

 

I. UNE RÉFLEXION THÉORIQUE SUR LA MUSIQUE : LA MESURE DE LA MUSIQUE.


Je prendrai pour point de départ le débat qui porte sur la question de savoir si la musique implique le jugement de l'intellect ou de la raison, ou bien le jugement de l'oreille. Lorsque l'on entend de la musique, faisons-nous appel à notre raison ou à notre perception, à notre sensibilité ?
 



UN PREMIER DÉBAT EXEMPLAIRE
 

Aristoxène de Tarente et

la tradition pythagoricienne
 


1. La théorie de la musique dans la tradition pythagoricienne


De PYTHAGORE  (570 av. J.-C. sur l'île de Samos - 500 À Métaponte)  lui-même on ne sait que très peu de choses. Les fragments les plus anciens dont nous disposons datent de l'époque de Philolaos de Crotone1 (-470, -385) : c'est à lui que l'on doit la plus ancienne description connue d'une gamme, selon Nicomaque (Fragment 6a).

Du point de vue de la théorie de la musique, la difficulté consiste à générer une gamme juste, i.e. complétée par des intervalles concordants : une fois l'octave, la quarte et la quinte identifiées, il faut encore remplir le reste de la gamme diatonique par le « ton » (9:8) et « le reste » sans lequel on ne peut diviser par deux (à savoir le diesis - selon le Fragment F6b : l'intervalle par lequel la quarte est plus grande que deux tons - et le leimma – 256:243).

Les textes qui nous sont parvenus, en effet, laissent apparaître au moins ceci que les pythagoriciens affrontaient le problème de la bisection du ton, ou comment diviser en deux un ton. Selon Porphyre (Vie de Pythagore), en effet, les pythagoriciens considèrent l'intervalle comme un rapport. Il le considère comme un « excès », un « surplus », de la quinte sur la quarte (3:2/4:3 = 9 :8) - même si l'on ne trouve pas le terme dans les fragments de Philolaos. La tradition pythagoricienne (Archytas), également, considère les intervalles comme des rapports- « superparticular »- de la forme n+1:1 , qu'on ne peut diviser par deux.
Force est de noter toutefois que la découverte des rapports correspondant aux intervalles « concordants » (2:1 = l'octave , 4:3 = la quarte , 3:2 = la quinte) n'est pas attribuable à Pythagore lui-même mais relève, plus largement aussi, de la pratique musicale grecque. Celle-ci dépend des instruments de musique grecs : monocorde (Euclide, Sectio canonis), heptacorde (Philolaos), octocorde (Platon), lyre.
Monocorde

Les intervalles semblent donc être à la fois identifiés avec des différences entre des nombres, et liés à des rapports. Cependant, selon Burkert2 la théorie musicale des premiers pythagoriciens n'est pas fondée sur les mathématiques mais sur la vénération de certains nombres, eu égard à leur rôle dans la musique et dans la cosmologie. Il semble, toutefois, que Philolaos mêle, dans la structure ordinaire de la musique, à la fois le calcul et un symbolisme numérique. La spéculation sur les nombres, quant à elle, caractérise plutôt la théorie musicale de la première Académie que celle de Philolaos. Pour conclure, ajoutons qu'il est difficile de mesurer l'influence de la description du pythagorisme par Platon dans le Timée, puis par Aristote (qui vise souvent Speusippe plutôt que Pythagore). 
La mesure de la musique consiste ici à trouver un moyen de diviser par deux le ton pour construire la gamme diatonique. Cette approche semble donc autant rationnelle, mathématique que symbolique.






Théorie de la tradition pythagoricienne de la musique


Intervalle
Nombre caractéristique de l'onde sonore
Écart entre les deux notes de l'intervalle dans la gamme naturelle ou « pythagoricienne » (Do-Ré-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do)
Nombre de tons compris dans l'intervalle
unisson
1
0
0
octave
2
8
6 (Do3 - Do4)
quinte
3/2
5
3,5 (Do3 - Sol3)
quarte
4/3
4
2,5 (Do3 - Fa3)
Tierce majeure
5/4
3
2 (Do3 – Mi3)
seconde
9/8
2
1 (Do3 - Ré3)

Aristoxène de Tarente oppose à cette conception de la mesure de la musique fondée sur la raison ou l'interprétation symbolique, une autre fondée sur le jugement de l'oreille.


2. ARISTOXÈNE DE TARENTE, IVè siècle av. J.-C.

 


Philosophe et théoricien de la musique, élève d'Aristote, il considère la musique comme une science physico-mathématique. Il met l'accent sur la dimension physique de la musique, sur l'acoustique et la production du son, tout en ne négligeant pas la part des mathématiques. Il recommande ainsi de faire davantage confiance à l'oreille qu'à la raison mathématique. La musique est soumise au jugement de l'oreille et non seulement à celui de l'intellect. Au contraire de la tradition pythagoricienne, il considère les intervalles comme des distances qui peuvent être divisées par deux.
Il exclut par ailleurs les considérations métaphysiques qui intéressent les pythagoriciens. Mais il constitue toutefois une théorie de l'âme, elle aussi, musicale : l'âme est au corps ce que l'harmonie est à l'instrument de musique.
En somme, la mesure de la musique n'est pas d'abord rationnelle mais elle est fondée sur le jugement de l'oreille, sur l'écoute musicale3.




Ce débat entre ces deux conceptions de la musique réapparaît périodiquement dans l'histoire de la musique.




Positions dans le débat sur la nature du jugement qui fonde la musique


Thèses :
« la musique implique le jugement de l'intellect, de la raison »
« la musique implique le jugement de l'oreille »
VI av. J-.C.
Tradition pythagoricienne (Eléates)
Aristoxène de Tarente
18è siècle
Rameau (dimension métaphysique de la musique)
Euler (la musique est une science physico-mathématique)
18è siècle
Rameau
D'Alembert
Type de théorie
Théorie mathématique de la musique
Théorie musicale de la musique
Orientation de la théorie de la musique
mathématique
physique


Il faut distinguer alors une théorie mathématique de la musique d'une théorie musicale de la musique.

B. LA CONSONANCE ET LA DISSONANCE :

FORME PREMIÈRE DE LA MESURE DE LA MUSIQUE

Etudions à présent ce qui semble la forme première de la mesure de la musique, si l'on suit les découvertes pythagoriciennes, à savoir la consonance. L'opposition entre la mesure et la démesure recouvre ici l'opposition entre la consonance et la dissonance.

LA THÉORIE MUSICALE D'EULER nous servira d'exemple : la théorie de la coïncidence des coups définit le plaisir musical comme la recherche de l'appréciation de l'ordre dans les sons. Euler établit alors un classement des consonances.

EULER : 1707-1783 – Mathématicien et physicien suisse, ami de Bernouilli. Il obtient grâce à lui la chaire de physique de l'Académie des sciences de Pétersbourg (1730). Il publie en 1735 une œuvre magistrale : la Mécanique, exposée analytiquement.
Puis il fut nommé membre de l'Académie des sciences de Berlin par Frédéric de Prusse, il y occupe la chaire de mathématiques. Il publie un ouvrage d'astronomie qui devient un classique :
la Théorie du mouvement des comètes et des planètes. Puis deux traités célèbres : Introduction à l'analyse infinitésimale (1748) – Institutions du calcul différentiel (1755).
Les Lettres à une princesse d'Allemagne (1768-1772) sont des textes de « vulgarisation » sur la physique et la philosophie.
Il retourne à nouveau en Russie et publie notamment son chef-d'oeuvre : Institutions du calcul intégral.

Eléments fondamentaux de la théorie musicale d'Euler




1. Le son est constitué de chocs sur le tympan


Tentamen, I, §54 :

« On comprend d'après cela qu'outre les vibrations propagées dans l'air, le corps sonnant ne transmet rien à l'oreille, et que conséquemment il faut que ces vibrations produisent en nous la sensation du son. Cette sensation a lieu de la manière suivante : il existe dans la cavité interne de l'oreille une membrane tendue et appelée tympan par analogie ; c'est elle qui reçoit les chocs de l'air et les transmet aux nerfs auditifs, et c'est par l'excitation de ces nerfs que naît la sensation du son. Le son n'est donc autre chose que la perception de chocs successifs, exercés par les particules d'air qui environnent l'organe de l'ouïe ; de sorte que tout ce qui est capable de produire sur l'air de semblables chocs, est aussi propre à engendrer le son. »

Le son est donc une sensation, un phénomène physiologique et physique à la fois, i.e. une réalité acoustique.

2. Qu'en est-il des relations entre deux sons musicaux ?

Elles sont connues par le rapport de leur nombre de coups.

Tentamen, II, §18 :

« Deux sons étant donnés, nous connaîtrons leur relation, si nous saisissons le rapport qu'ont entre eux les nombres de coups produits dans le même temps. Par exemple, si dans le même temps le premier son faisait 3 coups, pendant que le second en faisait 2, nous connaîtrions leur relation et par conséquent leur ordre, en observant que ce rapport est sesquialtère5. Semblablement, nous comprenons les relations mutuelles de plusieurs sons, si nous connaissons tous les rapports qu'entretiennent entre eux les nombres de vibrations produites dans le même temps par chaque son. »

La consonance se caractérise par la simplicité des rapports et la dissonance par la complexité des rapports entre le nombre de coups produit par chacun des deux sons sur le tympan.
La mesure des rapports entre deux sons en ce sens est le degré de simplicité de leur rapport. La démesure de ces rapports se réduit à la complexité de leurs rapports.

Pour mieux comprendre ces phénomènes Euler les illustre par des schémas, i.e. des représentations graphiques (Tentamen II, §21) qui permettent de « voir » qu'il y a plus d'ordre dans l'unisson que dans l'octave, plus dans l'octave que dans la quinte. Mais c'est une vue analogique et réductrice : s'il y a la même simplicité dans la vision de l'ordre de l'unisson que dans sa perception par l'oreille, toutefois, l'oreille distingue mieux les proportions que l'oeil (Tentamen II, §19)

« L'appréciation des rapports entre les sons est singulièrement facilitée par cette circonstance que nous percevons plusieurs coups de chacun, et qu'ainsi nous pouvons, pendant leur durée, les comparer plusieurs fois l'un à l'autre. Il est donc bien plus aisé de distinguer par l'ouïe le rapport de deux sons, que de reconnaître par la vue le même rapport entre deux lignes. »

La musique est un art temporel, elle se déroule dans le temps : les phénomènes sonores peuvent donc être perçus plusieurs fois dans le même intervalle de temps. Euler suppose que les instants qui composent la durée sont homogènes. Il spatialise la durée et suppose que la perception du son est identique quel que soit le nombre de perceptions que nous avons du même son. Autrement dit le son nous touche, nous affecte de la même manière que nous l'entendions la première fois ou la dixième. Dans tous les cas nous pouvons, selon Euler, chercher à identifier l'ordre dans les sons, et cet ordre ne change pas : il rationalise donc la perception du son et le réduit à un phénomène physico-physiologique, à un phénomène acoustique.
La mesure de la musique implique donc la prise en considération du temps, de sa dimension temporelle. Mais la simplicité de la « vue » de l'ordre dans les sons n'est qu'analogue à celle de la perception auditive de l'ordre dans les sons.
Euler, enfin, quantifie l'ordre des rapports musicaux de manière très originale : (« degré de douceur de l'exposant d'un ensemble de sons – idée de degré d'agrément ») il donne un procédé d'engendrement simple de systèmes acoustiques. Il propose 18 genres issus d'une formule unique de la forme 2m3n5p. Il esquisse alors une classification des tempéraments6.








L'ordre a donc une fonction essentielle dans la théorie musicale d'Euler. Il explique le plaisir musical et permet même de le mesurer.

Or il faut préciser ici quelques limites dans les connaissances d'Euler en matière d'acoustique :
  il ignore en effet
-l'organe de Corti produit ses propres harmoniques, analyse les sons et les décompose en ses partiels harmoniques
-le rôle des quintes dans la perception du son par l'oreille (cf. Helmholtz, 18637)
-l'intentionnalité de la conscience dans la perception musicale (cf. la phénoménologie de la musique, infra II, 1)



3. le plaisir vient de la perception de la perfection (Tentamen II, §7) :


« Il est certain que toute perfection fait naître le plaisir et que c'est une propriété commune à tous les esprits, aussi bien de se réjouir à la découverte et à la contemplation d'un objet parfait, que d'éprouver de l'aversion pour ce qui manque de perfection ou que des imperfections dégradent. »

« Tous les objets dans lesquels nous découvrons un certain ordre, plaisent ; ceux dont l'ordre est simple et facile à reconnaître, font naître la joie ; mais ceux dont l'ordre, plus compliqué, est plus difficile à saisir, produisent la tristesse […]
Nous ne parlons pas de cette espèce de tristesse que l'on compte parmi les émotions de l'âme et qui naît de la contemplation d'une imperfection. La musique ne produit pas une pareille tristesse, et ne peut la produire puisqu'elle est destinée à plaire. A son égard, la tristesse consiste dans une plus grande difficulté à découvrir la perfection ou l'ordre, et c'est pourquoi elle ne diffère de la joie que du plus ou du moins. »8



4. De la perfection à l'ordre (Tentamen II, §8 et 9) :


« Prenons pour exemple une horloge, dont la destination est de marquer les divisions du temps ; elle nous plaira au plus haut degré, si l'examen de la structure nous fait comprendre que les différentes parties en sont disposées et combinées de telle manière que toutes concourent à indiquer le temps avec exactitude. […] Ainsi, dans toute chose où il y a de la perfection, il y a nécessairement aussi de l'ordre. »

Or Euler distingue l'ordre propre à une horloge, qui est donné explicitement, de l'ordre propre à la musique, parce que ce dernier doit être découvert par l'intuition, quasi inconsciemment comme la loi d'une série mathématique dont on ne donnerait que les premiers termes (Tentamen, II, §10). C'est cette manière de reconnaître l'ordre qui fait le plaisir musical.

La notion d'ordre est liée à celle de la perfection et joue le rôle de concept fondamental explicatif.


Si le plaisir musical naît de la reconnaissance de l'ordre dans les sons, ce n'est pas pour autant un plaisir semblable au plaisir des sens, à l'agrément physiologique : le plaisir musical a une autonomie. La théorie de la musique repose alors non seulement sur un principe physique met aussi sur un principe métaphysique :

« La théorie de la musique est fondée sur deux principes. Le premier qui consiste dans l'exacte connaissance des sons, appartient à la physique. L'autre, puisé dans la métaphysique, a pour but de définir comment il se fait que l'ensemble de plusieurs sons simultanés ou successifs éveille en nous le sentiment du plaisir ou de l'aversion.9 »

Cet ordre dans les sons ne peut s'apprendre que par l'écoute de la musique, mieux par l'habitude musicale. Les lois propres de la musique s'enseignent au musicien par l'habitude musicale : c'est la musique qui fait le musicien. En un sens, la volonté du musicien, son conformisme sociologique ne font pas de lui un musicien. C'est la musique qui fait le musicien et non l'inverse.

« On doit nécessairement rejeter l'opinion de ceux qui croient que la musique dépend de la seule volonté des hommes, que la nôtre nous plaît uniquement parce que nous sommes habitués à l'entendre »10

« L'habitude est excellente, non pour persuader qu'une composition musicale est bonne, quand même elle déplairait à d'autres, mais pour exercer l'organe de l'ouïe et pour le perfectionner à tel point qu'il puisse se rendre compte de tout ordre qui s'y rencontre »11

Cette habitude est donc réfléchie, rationnelle et elle consiste à découvrir l'ordre dans la musique par l'intuition, i.e. par l'écoute. C'est en découvrant de nouveaux rapports musicaux que l'on peut étendre la palette des affects qu'ils suscitent : le musicien créent des émotions, des sentiments nouveaux mais s'il le fait c'est en créant de nouveaux rapports entre les sons. Il crée de nouveaux mondes sonores et en les créant il crée ipso facto des mondes d'émotions ou de sentiments nouveaux.

Mais, contrairement à l'approche pythagoricienne de la musique, Euler considère que la musique a une autonomie : s'il en prend la mesure mathématiquement il ne réduit pas pour autant la musique à une branche de l'arithmétique comme le fait Pythagore. L'intérêt d'Euler pour la musique est mathématique ; ce qui relève de la pratique musicale concerne les musiciens et non les mathématiciens. Les mathématiques n'ont donc pas de prétention normative en musique : la mesure de la musique n'est pas la mesure dans la musique. Ce sont deux approches différentes, qui éventuellement peuvent coïncider.

« Nous abandonnons aux musiciens instruits [expertis musicis] le soin de développer ces recherches plus que nous ne l'avons fait et de les rendre applicables dans la pratique. En musique, comme dans tous les beaux-arts en général, il faut se régler d'après l'opinion de ceux qui possèdent à la fois un excellent goût et beaucoup de jugement, et conséquemment ne tenir compte que de l'avis des personnes qui, ayant reçu de la nature une oreille délicate, perçoivent de plus avec justesse tout ce que cet organe leur transmet, et sont capables d'en juger sainement. »12

Euler cherche donc à inventer la forme mathématique qui rende compte des lois autonomes de ce domaine singulier que constitue la musique. Le plaisir musical, en effet, a une part harmonique : ce qu'Euler nomme la suavité (suavitas). Il propose ainsi une formalisation de l'ordre musical des suavités harmoniques empiriquement constatées : il invente pour cela un ordre mathématique grâce auquel il établit ce que l'on nomme les 18 degrés eulériens de suavité)

Le musicien fournit au mathématicien la matière dans laquelle il met de l'ordre.


(Euler peut alors affronter le problème de la mesure de la dimension proprement acoustique d'un accord : Il construit l'« exposant » de cet accord, qui indexe, mesure par un nombre entier unique la complexité harmonique à laquelle l'oreille musicale va avoir affaire.13 La mesure de la musique est ici la formalisation de la structure acoustique d'un accord. Elle est une indexation d'un rapport constaté dans la musique.)

Euler propose ainsi un « speculum musicum », « miroir musical » (Tonnetz : réseau de tonalités) censé refléter la vraie nature de la musique14 : il permet de construire des accords et des progressions entre accords, en visualisant les itinéraires possibles. Ce réseau harmonique révèle la structure géométrique sous-jacente aux enchaînements (verticaux) de tierces et (horizontaux) de quintes propres à la tonalité. C'est une transposition d'une représentation linéaire du total chromatique (cycle des quintes) en une représentation plane (« miroir musical ») 15:







La mesure dans la musique réside donc dans la reconnaissance d'un ordre, celui que l'on découvre à l'écoute de la musique parce qu'on le recherche : la reconnaissance de l'ordre dans les sons. C'est la recherche de l'appréciation de l'ordre qui caractérise la musique, par l'oreille comprise comme l'organe de l'ouïe. Il n'y a pas de différence de nature entre la consonance et la dissonance, ou entre la mesure de la musique et sa démesure.



Le désordre que l'on peut constater dans la perception des sons n'est pas un monde d'essence différente de celui dans lequel on perçoit l'ordre dans les sons. La différence entre la mesure et la démesure n'est qu'une différence de degré. On peut, par ailleurs, apprendre à mettre de l'ordre dans les sons, à apprécier l'ordre dans la perception des sons : ce goût esthétique est certes expliqué par les mathématiques par lesquels on peut ramener tout accord à une suite de nombres premiers, mais il ne s'y réduit pas pour autant.


Tentamen, chap 2, p. 21
« Ce n'est pas uniquement dans l'objet qu'il faut chercher la cause pour laquelle nous le trouvons agréable ou désagréable ; il faut aussi avoir égard aux sens qui en représentent l'image à l'esprit, et surtout au jugement que l'esprit se forme de cette image. »

Euler articule donc une théorie acoustique de la cause sonore (1er niveau) à une théorie physiologique de l'image perceptive (2è niveau), à enfin une théorie du jugement musical (3è niveau qui porte sur l'image perceptive précédente, qui procède elle-même d'une cause sonore.

La théorie de la coïncidence des coups vise la qualité des consonances « simples et accordantes » et non celles qui sont « agréables à l'oreille », pour reprendre une distinction de Descartes (lettre à Mersenne de janvier 1630, A.T. II, p. 108). Reste à déterminer les consonances « agréables à l'oreille ». Si l'on distingue, suivant Descartes, le sonore – phénomène physique - du musical – relevant de son appréciation par l'auditeur, il faut alors tenter d'expliquer pourquoi des consonances simples, douces et parfaites, ne sont pas nécessairement agréables à l'oreille.


5. Conclusions :


Selon Euler, les mathématiques sont mises au service de la musique et la musique qui en résulte est soumise au jugement de l'oreille.

Mais que se passe-t-il quand c'est l'oreille et non la raison qui juge la musique ?

1. N'y a-t-il qu'une manière d'écouter la musique ? A l'inverse, y a-t-il autant de manière d'écouter la musique que d'auditeur ? Mais comment rendre compte alors du fait que nous pouvons faire de la musique avec d'autres musiciens ?

2. Puisque la musique a une autonomie, cela signifie-t-il que si l'on se rend compte d'un ordre dans les sons, en écoutant de la musique, cela agit sur nous, sur notre conscience de manière spécifique ?

3. Pourquoi est-ce que l'on peut être emporté ou transporté par la musique ?
Pourquoi peut-on écouter de la musique, suivre une pièce musicale en l'écoutant ?

En somme, peut-on réduire l'expérience esthétique à l'approche physico-physiologique ?

















1 Carl A. HUFFMAN, PHILOLAUS of Croton, Pythagorean and Presocratic, Cambridge University Press, 2010.
2Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, tr. E. Minar (Cambridge, Mass.) 1972
3cf. le titre d'une de ses œuvres majeures perdues : Sur la manière d'écouter la musique
4 EULER Leonhard, Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae, Saint-Pétersbourg, 1739. Traduction française Essai d'une nouvelle théorie de la musique, Oeuvres complètes d'Euler 5, 1839, p. I-VII, 1-215. Publié dans Musique mathématique, Librairie scientifique et philosophique, Paris, 1865, p. I-VII, 1-215
5« Sesquialtère » désigne le rapport 3/2.
6Le tempérament est un procédé utilisé pour accorder les instruments et qui consiste à « tempérer » les quintes sur un piano par exemple. Si l'on suit les sons par quintes, au bout de 12 quintes on se retrouve 5 octaves plus haut, ce qui permet d'équilibrer les rapports de quinte dans notre gamme « naturelle », héritée du système octochordal pythagoricien. Les enharmonies sont en effet considérées comme les mêmes notes.
7Théorie physiologique de la musique fondée sur l'étude des sensations auditives, traduction de Guéroult, éd. Masson, 1868
8 Id. op. Cit. Chap. 2 p. 26
9 Préface, (p. IV) du Tentamen novae theoriae musicae, 1731/1739
10 Id. op. Cit. Chap. 2, p. 21
11 Id. op. Cit. Préface, p. II
12 Id. op. Cit. Chap.2 p. 22
13François Nicolas, Chap 4 «  la confrontation Euler Rameau », sur la formalisation de la structure acoustique de l'accord, in Leonhard EULER, Mathématicien, physicien et théoricien de la musique, sous la direction de Hascher et Papadopoulos, CNRS éditions, 2015, p. 167 . Pour résumer : Euler associe à un accord une série de nombres (rationnels) qui vont mesurer chaque hauteur du point de l'intervalle qu'elle forme avec la fondamentale de l'accord. Il la réduit en une suite de nombres entiers par multiplication du dénominateur commun, afin d'obtenir une suite irréductible cette fois. Cette dernière formalise ainsi la structure acoustique de l'accord. Il donne l'exemple d'un accord de Sol M avec un renversement à la sixte on calcule son « exposant », ou dégré de suavité, qui est de « 240 ».
14http://eulerarchive.maa.org/
15 Euler, De harmoniae veris principiis, 1774, p. 350.







Quelques textes pour poursuivre la réflexion

 

 

ARISTOXÈNE DE TARENTE, Éléments d'harmonique, livre 2, chapitre 1 

Les uns raisonnent d’une manière tout à fait étrange: ils récusent le jugement de l’oreille, dont ils n’admettent pas l’exactitude; ils vont chercher des raisons purement abstraites. A les entendre, il y a certains rapports numériques, certaines [lois de] vitesses relatives [dans les vibrations] dont dépendraient l’aigu et le grave, et, partant de là, ils font les raisonnements les plus extraordinaires, les plus contraires aux données de l’expérience. Les autres donnent pour des oracles chacune [de leurs opinions] sans raisonnement ni démonstration: les faits naturels eux-mêmes, ils ne savent pas les énoncer convenablement. Pour notre part, nous tâchons de recueillir tous les faits qui sont évidents pour ceux qui connaissent la musique, puis de démontrer les conséquences qui résultent de ces [faits fondamentaux]. 
Ainsi donc, le point de vue général, c’est une théorie qui porte sur tout chant musical produit soit par la voix soit au moyen des instruments. Cette étude se réfère à deux facultés qui sont l’ouïe et le discernement. Au moyen de l’ouïe, nous jugeons les grandeurs des intervalles et par le discernement nous nous rendons compte de leurs puissances. Il faut donc s’accoutumer à juger avec précision chacun [des intervalles], car l’on ne peut suivre ici l’usage que l’on suit quand il s’agit de figures [géométriques]: « Soit donné ce [trait] pour une ligne droite. » Il faut se départir de cette méthode quand il s’agit des intervalles. Le géomètre, en effet, ne se sert pas des facultés sensibles, il n’exerce pas sa vue à juger la droite ou la courbe, ni aucune autre configuration, ni bien ni mal, mais c’est plutôt l’affaire de l’ébéniste, du tourneur et, en général, des artisans dont le travail a recours à ces appréciations. Ce qui est en première ligne pour le musicien, c’est l’exactitude de la perception; et en effet l’on ne peut admettre que celui qui perçoit mal s’expliquera convenablement sur des faits qu’il ne perçoit pas du tout. Cette vérité sera bien évidente en ce qui regarde la matière de notre trait.
Traduction : remacle.org




PLATON, La République, VII, 531a- 531c

Platon nous montre à l’œuvre ceux qui, dédaignant, comme devait le faire Aristoxène, le secours de la science mathématique et n’unissant pas comme lui les lois de la raison au témoignage des sens, étaient nécessairement condamnés à l’erreur. 
« Socrate: Ne sais-tu pas que la musique n’est pas mieux traitée aujourd’hui que la muse sa sœur (l’astronomie), et que l’on borne cette science à la mesure des tons et des consonances ? — Glaucon: Oui certes, c’en est ridicule: on les voit donner un nom à des fractions d’intervalles et tendre l’oreille comme pour surprendre les sons au passage. Les uns disent qu’ils entendent un son entre deux autres, lequel produit avec l’un ou l’autre le plus petit intervalle mesurable, les autres contestent, et soutiennent qu’on a chanté un intervalle semblable; les uns et les autres préfèrent le jugement de l’oreille à celui de l’intelligence. — Socr.: Tu parles de ces honnêtes musiciens qui fatiguent les cordes à force d’expérimenter et les mettent à la torture avec les chevilles. — Gl.: Je les laisse et je veux parler de ceux que nous interrogerons sur l’harmonique. Ceux-ci du moins font la même chose que les astronomes: ils cherchent les proportions numériques renfermées dans les consonances qu’ils entendent, etc. »

EULER, Tentamen, I, §51 : « On comprend d'après cela qu'outre les vibrations propagées dans l'air, le corps sonnant ne transmet rien à l'oreille, et que conséquemment il faut que ces vibrations produisent en nous la sensation du son. Cette sensation a lieu de la manière suivante : il existe dans la cavité interne de l'oreille une membrane tendue et appelée tympan par analogie ; c'est elle qui reçoit les chocs de l'air et les transmet aux nerfs auditifs, et c'est par l'excitation de ces nerfs que naît la sensation du son. Le son n'est donc autre chose que la perception de chocs successifs, exercés par les particules d'air qui environnent l'organe de l'ouïe ; de sorte que tout ce qui est capable de produire sur l'air de semblables chocs, est aussi propre à engendrer le son. »


Tentamen, II, §18 : « Deux sons étant donnés, nous connaîtrons leur relation, si nous saisissons le rapport qu'ont entre eux les nombres de coups produits dans le même temps. Par exemple, si dans le même temps le premier son faisait 3 coups, pendant que le second en faisait 2, nous connaîtrions leur relation et par conséquent leur ordre, en observant que ce rapport est sesquialtère2. Semblablement, nous comprenons les relations mutuelles de plusieurs sons, si nous connaissons tous les rapports qu'entretiennent entre eux les nombres de vibrations produites dans le même temps par chaque son. »

TEXTE 5 : EULER, Tentamen, II, §19 : « L'appréciation des rapports entre les sons est singulièrement facilitée par cette circonstance que nous percevons plusieurs coups de chacun, et qu'ainsi nous pouvons, pendant leur durée, les comparer plusieurs fois l'un à l'autre. Il est donc bien plus aisé de distinguer par l'ouïe le rapport de deux sons, que de reconnaître par la vue le même rapport entre deux lignes. »

Tentamen II, §7 : « Il
est certain que toute perfection fait naître le plaisir et que c'est
une propriété commune à tous les esprits, aussi bien de se réjouir
à la découverte et à la contemplation d'un objet parfait, que
d'éprouver de l'aversion pour ce qui manque de perfection ou que des
imperfections dégradent. » 
« Tous les objets dans lesquels nous découvrons un certain ordre, plaisent ; ceux dont l'ordre est simple et facile à reconnaître, font naître la joie ; mais ceux dont l'ordre, plus compliqué, est plus difficile à saisir, produisent la tristesse […] Nous ne parlons pas de cette espèce de tristesse que l'on compte parmi les émotions de l'âme et qui naît de la contemplation d'une imperfection. La musique ne produit pas une pareille tristesse, et ne peut la produire puisqu'elle est destinée à plaire. A son égard, la tristesse consiste dans une plus grande difficulté à découvrir la perfection ou l'ordre, et c'est pourquoi elle ne diffère de la joie que du plus ou du moins. »3

Tentamen II, §8 et 9 : « Prenons pour exemple une horloge, dont la destination est de marquer les divisions du temps ; elle nous plaira au plus haut degré, si l'examen de la structure nous fait comprendre que les différentes parties en sont disposées et combinées de telle manière que toutes concourent à indiquer le temps avec exactitude. […] Ainsi, dans toute chose où il y a de la perfection, il y a nécessairement aussi de l'ordre. »

Tentamen, Préface, p. IV : « La théorie de la musique est fondée sur deux principes. Le premier qui consiste dans l'exacte connaissance des sons, appartient à la physique. L'autre, puisé dans la métaphysique, a pour but de définir comment il se fait que l'ensemble de plusieurs sons simultanés ou successifs éveille en nous le sentiment du plaisir ou de l'aversion.»

Tentamen, Chapitre 2, p. 21 : « On doit nécessairement rejeter l'opinion de ceux qui croient que la musique dépend de la seule volonté des hommes, que la nôtre nous plaît uniquement parce que nous sommes habitués à l'entendre » 
Tentamen, Préface, p. II : « L'habitude est excellente, non pour persuader qu'une composition musicale est bonne, quand même elle déplairait à d'autres, mais pour exercer l'organe de l'ouïe et pour le perfectionner à tel point qu'il puisse se rendre compte de tout ordre qui s'y rencontre »

Tentamen, Chapitre 2 p. 22 : « Nous abandonnons aux musiciens instruits [expertis musicis] le soin de développer ces recherches plus que nous ne l'avons fait et de les rendre applicables dans la pratique. En musique, comme dans tous les beaux-arts en général, il faut se régler d'après l'opinion de ceux qui possèdent à la fois un excellent goût et beaucoup de jugement, et conséquemment ne tenir compte que de l'avis des personnes qui, ayant reçu de la nature une oreille délicate, perçoivent de plus avec justesse tout ce que cet organe leur transmet, et sont capables d'en juger sainement. »

Tentamen, chap 2, p. 21 : « Ce n'est pas uniquement dans l'objet qu'il faut chercher la cause pour laquelle nous le trouvons agréable ou désagréable ; il faut aussi avoir égard aux sens qui en représentent l'image à l'esprit, et surtout au jugement que l'esprit se forme de cette image. »


Cycle des quintes – et des quartes














Leibniz , Lettre à Christian Goldbach (1712)

Leibniz propose une justification psychologique originale en défendant l'idée que la musique est le résultat de perceptions et de calculs inconscients. La beauté repose, tout comme chez Euler, sur la perception de l'ordre et cette perception se fait selon des modalités très spécifiques dans la musique. Il considère que la coïncidence explique d'elle-même la consonance.

« Au reste, je pense que la raison des consonances doit être cherchée à partir de la coïncidence des coups (congruentia ictuum). La musique est une pratique occulte de l'arithmétique dans laquelle l'esprit ignore qu'il compte (musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi)5. Car, dans les perceptions confuses ou insensibles, [l'esprit] fait beaucoup de choses qu'il ne peut remarquer par une aperception distincte. On se tromperait en effet en pensant que rien n'a lieu dans l'âme sans qu'elle sache elle-même qu'elle en est consciente. Donc, même si l'âme n'a pas la sensation qu'elle compte, elle ressent pourtant l'effet de ce calcul insensible, c'est-à-dire l'agrément qui en résulte dans les consonances, le désagrément dans les dissonances. Il naît en effet de l'agrément à partir de nombreuses coïncidences insensibles. D'ordinaire, on fait un mauvais compte en n'attribuant à l'âme que les opérations dont elle a conscience. De là proviennent les nombreuses erreurs [commises] non seulement par les anciens philosophes, mais aussi par les cartésiens eux-mêmes et par d'autres, comme Locke et Bayle. Mais, pour en revenir à l'affaire, dans l'octave un coup sur deux de l'une des séries de coups coïncide avec chaque coup de l'autre série. Dans la quinte chaque troisième [coup] d'une série et chaque second de l'autre se conjuguent. […] Je ne pense pas que les rapports sourds plaisent à l'âme en eux-mêmes, sauf quand ils sont faiblement distants des [rapports] rationnels qui plaisent : par accident, cependant, des dissonances plaisent parfois, et sont employées utilement ; elles s'interposent dans les douceurs comme les ombres dans l'ordre et dans la lumière, afin qu'ensuite nous appréciions d'autant plus l'ordre. »





MERSENNE Marin, Traité de l'harmonie universelle (1636), livre 1 :

« Théorème I. La Musique est une partie des mathématiques. […]
Théorème II. La Musique dont je traite est subalterne à l'Arithmétique. […]
Il s'ensuit qu'un Arithméticien peut apprendre la Musique sans maître et qu'il n'y a nulle science si aisée puisque les meilleures raisons consistent seulement à compter et à comparer ces nombres les uns aux autres. »

EULER, De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (Des vrais principes de l'harmonie représentés par le miroir musical)

« La méthode qu'on suit ordinairement pour enseigner la musique aux enfants est très vicieuse en ce qu'elle éloigne beaucoup des principes de l'harmonie. Comment peut-on exiger que les élèves apprennent à entonner les son de ut, ré, mi, fa, sol, la, si ? Dans cette gamme il y a un ton majeur de ut à , un ton mineur de à mi, un demi-ton majeur de mi à fa, etc., intervalles que les musiciens les plus exercés ne sont pas capables de chanter juste, à moins qu'ils ne s'aident d'un instrument ou qu'ils ne les décomposent en intervalles simples. Dès le commencement il faut donc exercer les élèves avec le plus grand soin à former l'octave, la quinte et la tierce majeure ; ce n'est qu'ainsi qu'ils acquerront une bonne oreille et qu'ils s'habitueront de plus en plus à bien apprécier l'agrément qui accompagne la perception de ces consonances. »



1 EULER Leonhard, Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae, Saint-Pétersbourg, 1739. Traduction française Essai d'une nouvelle théorie de la musique, Oeuvres complètes d'Euler 5, 1839, p. I-VII, 1-215. Publié dans Musique mathématique, Librairie scientifique et philosophique, Paris, 1865, p. I-VII, 1-215

2« Sesquialtère » désigne le rapport 3/2.

3 Id. op. Cit. Chap. 2 p. 26

4http://eulerarchive.maa.org/


5La même idée est reprise dans les Philosophische Schriften, IV, (éd. Gerhardt), p. 550-551, « Extrait du Dictionnaire de M. Bayle » - vers 1703

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