jeudi 9 août 2018

Les triangles et l'infini


La récurrence en mathématiques et en philosophie : fiction ou abstraction?

 
 
 


triangle quelconque



Triangle de Sierpinski (1882-1969) après 3 itérations



Triangle arithmétique de Pascal (1623-1662)

 


Tous ces triangles sont-ils réels?

Existent-ils?


 
 
Triangle de Penrose


 
 

 

Le premier triangle, quelconque, est réel mais abstrait. C'est une représentation qui n'implique pas nécessairement un recours à la sensibilité : il n'est pas besoin de voir un tel triangle, ni de le dessiner pour le concevoir.

Le triangle de Sierpinski est réel également, mais sa forme en un sens n'est pas statique, elle est paradoxalement dynamique : je peux réitérer la même opération géométrique (un algorithme ici) à l'infini.

Le triangle arithmétique de Pascal, en revanche, n'a de triangle que la forme : le triangle est une figuration, réelle par ailleurs, d'une réitération, d'une répétition de somme de nombres successifs. C'est presque davantage un moyen de présenter ou de retenir une suite de nombre ordonnés.
Il est utilisé pour les identités remarquables.
 
Le triangle de Penrose, lui en revanche, est plus problématique : il semble impossible à réaliser, ce serait donc une fiction. Or cette figure joue sur une illusion d'optique, mais l'on peut tout à fait créer un objet avec cette forme : ce triangle peut être réalisé



Y a-t-il un triangle plus réel que les autres parmi ces exemples?




Si l'on entend par réel ce qui s'oppose à la fiction, le triangle de Penrose est le moins réel de tous. Mais il peut être réalisé, sa forme rend possible la construction d'un objet.

Le triangle quelconque semble en un autre sens le plus réel parce qu'il est le plus facile à concevoir ou à imaginer, il est le triangle plus évident, le plus simple.

Le triangle de Sierpinski lui est plus complexe parce qu'il intègre la génération répétée d'une infinité de triangle à partir du même algorithme. Il est réel mais non statique, non défini au sens où on l'entend habituellement : ce n'est pas une image achevée, terminée, on peut toujours faire une nouvelle itération.

Le triangle arithmétique est peut-être alors le moins réel de tous, puisqu'il n'est qu'une manière de présenter une suite de calculs, simples en eux-mêmes.

Qu'est-ce qu'un triangle?


C'est une figure géométrique, réelle mais abstraite, qui a donc des caractéristiques propres, universelles, que chacun peut connaître rationnellement. C'est donc une figure rationnelle.

Un triangle est-il une fiction?


Cela peut sembler le cas si l'on considère que seul existe ce que l'on peut sentir par les cinq sens (empirisme) : le triangle de Penrose, de ce point de vue est une triangle fictif.


Si on analyse la forme, celle-ci est faite d'un triangle central, mais complétée par des lignes qui donnent l'illusion que l'on a affaire à un triangle en relief, en trois dimensions. Ce sont des triangles inachevés qui donnent l'illusion qu'on voit un triangle achevé parce qu'on confond une perception en deux dimensions et une perception en trois dimensions. Or ce que représente cette figure n'est pas un triangle quelconque ni un objet triangulaire au sens commun du terme. Selon le point de vue nous voyons ou nous représentons un triangle ou bien une forme ouverte, discrète, celle d'un objet non fini ou au contraire infini.

Un triangle est-il une abstraction?



Le triangle, instrument de musique
Oui, est c'est pour cela que l'on peut réfléchir, faire des mathématiques notamment. Car, on peut aussi penser sans image, avec des idées, des représentations qui ne sont pas les images des choses, qui ne ressemblent pas aux choses que l'on conçoit par l'esprit. Une abstraction n'est pas une fiction, mais une représentation dans laquelle la sensibilité n'intervient pas, distincte d'elle. Elle n'est pas matérielle ni concrète mais bien réelle malgré tout. C'est aussi une forme que l'on peut abstraire d'une chose triangulaire (le triangle, instrument de musique), fût-elle imparfaitement un triangle.



Lorsque je me représente un triangle, qu'est-ce que je me représente?



Un de mes collègues professeur de mathématiques à l'esprit joueur nous répondrait : "un triangle"!

Si l'on me demande de me représenter un triangle, je peux le tracer avec la règle et le compas, ou bien même l'imaginer seulement. Cela laisse à penser que si je me représente une figure, particulière, ce triangle quelconque donné en exemple p.3, c'est une image que je me représente, quelque chose qui ressemble à la chose "réelle" ou du moins à ce qu'on appelle, ce qu'on nomme un triangle quelconque. Pourtant si j'essaie à présent de me représenter un chiliogone, un polygône à mille côtés, il m'est impossible de l'imaginer. Mon imagination n'a pas une puissance infinie de créer des images, elle est limitée. Je n'en comprends pas moins le sens de la demande et je peux même me le représenter, sans image, mais parce que j'en conçois l'idée. Je me représente d'ailleurs non pas un chiliogone particulier, mais le chiliogone, ce qu'il est. le triangle sur lequel je réfléchis.
Chiliogone régulier
Et cela ne ressemble à rien de particulier, ni à rien du tout. De même lorsque je me représente un triangle, ce n'est pas un triangle particulier, celui que je vois ou que j'ai dessiner, ou que j'imagine maintenant "concrètement", mais c'est

Je me représente donc une idée et non une image du triangle.

Les représentations mathématiques ne sont pas d'abord des images, contrairement aux apparences, mais des abstractions, des idées qui n'en sont pas pour autant irréelles, fictives : elles existent à leur manière.

Lequel (ou lesquels) des triangles présente(nt) une forme de récurrence?


Le triangle de Sierpinski est une forme de récurrence (une fractale).

Il faut alors distinguer la récursivité, i.e. la répétition d'une même opération, de l'initialisation (le fait de commencer à un "point de départ"), de l'hérédité (le fait qu'une même caractéristique se conserve une fois la récurrence initiée.

Seul le triangle de Sierpinski présente une forme de récurrence.



 


Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire